Hukum Newton II dalam Gerak Melingkar Beraturan

Gerak melingkar Beraturan dan Hukum Newton II telah kita pelajari sebelumnya. Namun, sebelum kita masuk masuk pada Hukum Newton II dalam Gerak Melingkar Beraturan, ada baiknya kita mengulas kembali kedua materi tersebut secara singkat sebagai berikut.

A.            Gerak Melingkar Beraturan

          ­Benda yang bergerak membentuk suatu lingkaran dengan radius r dan laju konstan v mempunyai percepatan yang arahnya menuju pusat lingkaran dan besarnya adalah :

                        a_s = v²/r                                                                       (1)

          Tidaklah mengejutkan bahwa percepatan ini bergantung pada v dan r. Untuk laju v yang lebih besar, semakin cepat pula kecepatan berubah arah.

          Vektor percepatan menuju ke arah pusat lingkaran. Tetapi vektor kecepatan selalu menunjuk ke arah gerak, yang tengensial terhadap lingkaran. Dengan demikian vektor kecepatan dan percepatan tegak lurus satu sama lain pada setiap titik di jalurnya untuk gerak melingkar beraturan 

          Gerak melingkar sering dideskripsikan dalam frekuensi f sebagai jumlah putaran per sekon. Periode T dari sebuah benda yang berputar membentuk lingkaran adalah waktu yang diperlukan untuk menyelesaikan 1 putaran. Periode dan frekuensi dihubungkan dengan

T = 1/f

Sebagai contoh, jika sebuah benda berputar dengan frekuensi 3 putaran/sekon, satu putaran memerlukan waktu 1/3 sekon. Untuk benda yang berputar membentuk lingkaran dengan laju konstan v, dapat kita tuliskan :

V = 2πr/T

B.        Hukum Newton II

Hukum II Newton menyatakan :

“Percepatan dari suatu benda akan sebanding dengan jumlah gaya yang bekerja pada benda tersebut dan berbanding terbalik dengan massanya.”

Secara matematis dirumuskan sebagai berikut :

 a = ∑F/m atau ∑F = ma

Dengan

a          =   percepatan benda (m/s²)

∑F        =   resultan gaya (N)

m         =   Massa benda (kg)

C.         Hukum Newton II dalam Gerak Melingkar Beraturan

 ­        Menurut Hukum Kedua Newton (∑F = ma), sebuah benda yang mengalami percepatan harus memiliki gaya total yang bekerja padanya. Benda yang bergerak membentuk lingkaran, seperti sebuah bola di ujung tali, dengan demikian harus mempunyai gaya yang diberikan padanya untuk mempertahankan geraknya dalam lingkaran itu. Dengan demikian, diperlukan gaya total untuk memberinya percepatan sentripetal. Besar gaya yang dibutuhkan dapat dihitung dengan menggunakan Hukum Newton kedua untuk komponen radial, ∑F_s =ma_s, dimana a_s adalah percepatan sentripetal, a_s = v²/r, dan ∑F_s adalah gaya total (atau netto) dalam arah radial :

                             ∑F_s = ma_s = m v²/r              [gerak melingkar]         (2)

D.           Contoh Soal

Sebuah bola 0,15 kg di ujung sebuah tali 1,1 m (massa diabaikan) diputar membentuk lingkaran vertikal.

(a)   Tentukan laju minimum yang harus dimiliki bola pada puncak lintasannya sehingga bola itu bisa terus bergerak dalam lingkaran.

(b)   Hitung tegangan tali di dasar jalur dengan menganggap bola bergerak dengan laju dua kali lipat

Jawab :

                                           

(a)   Di puncak (titik A), dua gaya bekerja pada bola, mg, beratnya; F_TA, gaya tegangan yang diberikan tali pada titik A. Keduanya bekerja dengan arah ke bawah, dan jumlah vektornya memberikan percepatan sentripetal a_s kepada bola. Sekarang kita pakai hukum Newton kedua, untuk arah vertikal, dengan memilih arah ke bawah (menuju pusat) positif.

               ∑F_s = ma_s

               F_TA + mg = m

Laju minimum akan terjadi jika F_TA = 0 di mana kita dapatkan

             mg = m v_A²/r

Kita selesaikan untuk v_A : v_{A =} √gr = √ 9,8 m/s² . 1,1m = 3,28 m/s

Ini adalah laju minimum di puncak lingkaran jika bola harus meneruskan geraknya dalam lintasan melingkar.

(b)   Di bagian bawah lingkaran tali memberikan tegangan F_TB ke atas sementara gaya gravitasi, mg bekerja ke bawah. Sehingga hukum Newton kedua, kali ini dengan memilih arah ke atas (menuju pusat) sebagai arah positif, menghasilkan

              

              ∑F_{R = ma}

                       F_TB – mg = m v_B²/r

Laju v_B diketahui dua kali lipat dari hasil yang kita dapatkan di (a), yaitu 6,56 m/s. [Perhatikan bahwa di sini laju berubah karena gravitasi bekerja pada bola di semua titik di sepanjang lintasan, tetapi Persamaan (2) tetap berlaku, ∑F_s = mv²/r.] Kita selesaikan untuk F_TB pada persamaan terakhir:

              F_TB   = m v_B²/r + mg

                       = 0,15 kg . 6,56² m/s/1,1 m + 0,15 kg . 9,8 m/s²

                             ⁼  0,15 kg . 39,12 m/s² + 1,47 N

                            =  7,338 N

                       =  7,34 N

Perhatikan bahwa kita tidak bisa dengan mudah menentukan F_TB sama dengan  ; yang terakhir ini sama dengan gaya total pada bola dalam arah radial dan dengan demikian juga melibatkan gravitasi. Jelas bahwa tegangan tali tidak hanya memberikan percepatan sentripetal, tetapi harus lebih besar dari ma_s untuk mengimbangi gaya gravitasi ke bawah.